Можно ли считать что работник оформлен на работу если с ним заключен трудовой договор?

Да, считается.
статья 61 тк рф. вступление трудового договора в силу
трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем, если иное не установлено настоящим кодексом, другими федеральными законами, иными нормативными правовыми актами российской федерации или трудовым договором, либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. работник обязан приступить к исполнению трудовых обязанностей со дня, определенного трудовым договором.