Увольняюсь с госслужбы, хочу взять отпуск с последующим увольнением.

Хотеть вы конечно можете, а вот его предоставление полностью на усмотрение работодателя.
тк рф статья 127. реализация права на отпуск при увольнении работника
...
по письменному заявлению работника неиспользованные отпуска могут быть предоставлены ему с последующим увольнением (за исключением случаев увольнения за виновные действия). при этом днем увольнения считается последний день отпуска.
....
1. если работодатель согласится на его предоставление, то с вами произведут полный расчёт и выдадут все документы в последний рабочий день перед отпуском.
2. нет, т. к. днём увольнения считается последний день отпуска и это будет отражено в тк.
так что трудоустройство возможно только после его окончания.
конечно в жизни бывают случаи, что работник обманывает работодателя или обманывается сам, соответственно обещает принести тк позже и его оформляют. естественно этим работник себе уже наживает негатив со стороны руководства и кадров. в принципе это не самое серьёзное нарушение и ищут их не часто. но серьёзные организации, без предоставления и изучения вашей тк оформлять не будут.
само по себе пересечение дат в тк не ведёт к негативным последствиям для работника, а стаж будет учтён один раз.
в общем этот отпуск на данный момент не нужен ни работнику который ищет новую работу ни работодателю, поскольку он не сможет принять нового работника, а посему давно устарел и практически не применяется.