Может ли отказать в отпуске?

Статья 128. отпуск без сохранения заработной платы
по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.
в этой ситуации у вас есть право, но работодатель может отказать, так как у него нет обязанности вам его предоставить.
вы не указали начало рабочего года и сколько вы уже отработали, принимая во внимание, что 120 дней на больничном включается в стаж работы дающего право на очередной отпуск.
статья 121. исчисление стажа работы, дающего право на ежегодные оплачиваемые отпуска
в стаж работы, дающий право на ежегодный основной оплачиваемый отпуск, включаются:
время фактической работы;
время, когда работник фактически не работал, но за ним в соответствии с трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами, трудовым договором сохранялось место работы (должность), в том числе время ежегодного оплачиваемого отпуска, нерабочие праздничные дни, выходные дни и другие предоставляемые работнику дни отдыха; ...
статья 123. очередность предоставления ежегодных оплачиваемых отпусков
очередность предоставления оплачиваемых отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем с учетом мнения выборного органа первичной профсоюзной организации не позднее чем за две недели до наступления календарного года
...график отпусков обязателен как для работодателя, так и для работника.
у вас когда по графику очередной отпуск? в июне? но июнь начинается с 1 числа! профсоюз есть?
а если с учётом больничного у вас наберётся 11 месяцев, то вы имеете право потребовать очередной отпуск в любое время.