Могут ли отказать в отгуле матери двух детей до 14 лет

Нет в тк рф понятия "отгул", никакие "отгулы" работодатель никому предоставлять не обязан. если вы заработали выходной за работу, например, в свои законные выходные или в праздники, тогда можете просить предоставления вам этого выходного в удобное время, а если не заработали, то и просить нечего.
ст. 263 тк рф работодателю дано право предусмотреть в коллективном договоре доп. отпуска для некоторых категорий работников. в вашей организации есть коллективный договор и он предусматривает такую льготы? тогда по вашему заявлению вам этот доп. отпуск предоставить обязаны. не предусматривает коллективный договор вашей организации таких отпусков, значит и права на них у вас нет.
ст. 128 тк рф установлено, что работнику может быть предоставлен отпуск без сохранения зарплаты, но это при наличии уважительной причины и на усмотрение работодателя. наличие несовершеннолетних детей не является безусловной уважительной причиной для предоставления вам отпуска без содержания. работодатель имеет полное право вам отказать.
напишите заявление на предоставление отпуска без сохранения зарплаты, укажите причину, работодатель рассмотрит и если сочтет нужным, то один день отпуска вам предоставит.
если нет, то, как выше сказали, кровь сдайте, получите донорский выходной, в нём не имеют права отказать.