Сотрудник написал заявление на увольнение и пропал

Да, если он так и не появится, то через две недели, в день, указанный в заявлении, вы уволите его по собственному желанию, произведете полный расчет и в день увольнения, в случае его неявки, отправите ему уведомление о том, что трудовой договор с ним расторгнут и ему необходимо явиться за трудовой книжкой и расчетом или дать письменное согласие на пересылку трудовой книжки почтой и перечисление зарплаты на расчетный счет.
а в табеле вы весь период его отсутствия будете ставить "нн" и оплачивать прогулы вы, естественно, не обязаны.