Правомерно ли увольнение сотрудника по ст. 71тк рф через день после его заявления на увольнение по собственному желанию?

Скорее всего, ваш работодатель не прав!
согласно ч. 4 ст. 71 тк рф, "если в период испытания работник придет к выводу, что предложенная ему работа не является для него подходящей, то он имеет право расторгнуть трудовой договор по собственному желанию, предупредив об этом работодателя в письменной форме за три дня. " и в этом случае результат испытания не имеет правового значения, поскольку работник подлежит увольнению по п. 3 ч. 1 ст. 77 тк рф - расторжение трудового договора по инициативе работника)
если же до даты подачи своего заявления (об увольнении по собственному желанию) , работодатель письменно еще не предупредил работника об увольнении, как не выдержавшего испытания, то его увольнение через день после подачи работником его заявления незаконно, т. к. нарушен минимальный 3-х дневный срок ппедупреждения, установленный ч. 1 ст. 1 тк рф.