Можно ли брать отпуск на 28 календарных дней отработав пол года и уволится?

28 дней отпуска положено за год работы, причём год в данном случае - рабочий. он считается индивидуально для каждого, с даты приема на работу.
у вас первый отпуск должен быть за период с апреля 2015 года по апрель 2016-ого (желательно, конечно, знать число для более точного расчета). за этот период вы отгуляли 14 дней (октябрь) + 7 дней (май) = 21 день, т. е. за 1 год работы вам ещё положено 7 дней отпуска.
с апреля 2016-ого начался второй рабочий год. вы отработали в нем три месяца, за что положено еще 7 дней отпуска (28 : 12 х 3).
итого: вы могли бы взять 14 дней - 7 дней долг перед вами за первый год работы + 7 дней за уже отработанное время второго года работы.

теперь о грустном. насколько я понимаю, в этой компании нет графика отпусков. следовательно, отпуск предоставляется по заявлению работника и по согласованию с работодателем. а вот с согласованием, судя по всему, уже проблемы и отпуск придётся выбивать.

об увольнении:
безусловно, уволиться по собственному желанию вы можете. однако взять именно отпуск с последующим увольнением у вас получится вряд ли.
дело в том, что отпуск с последующим увольнением - это право работника, но не обязанность работодателя. то есть работодатель имеет полное право отказать именно в таком варианте и соглашаться совершенно не обязан.
вы можете сначала взять отпуск, а уже находясь в нём - подать заявление на увольнение, учитывая, конечно, необходимость предупреждения об увольнении за 14 дней до даты. возможно, не весь срок предупреждения попадет от на отпуск и часть дней придётся отработать.
либо вы увольняетесь сейчас (т. е. подаете заявление - уходите через 14 дней), а за отпуск получаете компенсацию