Может ли работодатель уволить сотрудника если он взял больничный в последний день отработки?

Все законно
вариант первый, самый простой: работник успевает выздороветь до даты увольнения. тут все просто: увольняют человека согласно его заявлению.
вариант второй: больничный затянулся больше дней, оставшихся до увольнения. в этом случае работника увольняют в день, указанный в заявлении об уходе. ведь изменить дату увольнения, зафиксированную в заявлении, без согласия работника нельзя. в таких случаях трудовой договор прекращается ранее определенной датой, а больничный, открытый в период действия трудового договора, оплачивается по факту окончания временной нетрудоспособности.
закон обязывает работодателя уволить сотрудника, выплатить ему деньги и выдать трудовую книжку в последний рабочий день, указанный в заявлении на увольнение. соответственно, если человек после подачи заявления об увольнении заболел и при этом свое заявление официально не отозвал, то ему необходимо выдать все деньги и документы той датой, которую сотрудник указал в заявлении. если в день увольнения человек не пришел за трудовой книжкой и расчетом, необходимо направить ему письменное уведомление о том, что он должен явиться за трудовой книжкой либо дать согласие на отправление ее по почте.
после отправления такого уведомления остается только дождаться выхода сотрудника после больничного и оформить его увольнение, выдав все документы и деньги.