Имеет ли право секретарь не регистрировать заявление об увольнении работника, если тот просит, а директор не разрешает?

Вы как секретарь должны объяснить директору, что заявление от этого работника для вас входящий документ, а не личная неприязнь к примеру к этому человеку (как у руководителя, смотря в чем причина, конечно). Что зарегистрировать вы его обязаны по трудовому кодексу и правилам ведения входящей документации. У меня был такой руководитель (тоже была секретарем и тоже приходилось многие моменты...объяснять...порой настойчиво), вам необходимо выполнить свою работу и точка! А что уже предпримет ваш директор - не ваша головная боль. Вы по своей должности должны всё сделать правильно.