Вопрос: формы заключения трудовых договоров, а кроме письменной еще какие-то существуют?

Законом однозначно предусмотрена только одна форма трудового договора - письменная (см. ст. 67 Трудового договора). Заключить договор в иной форме, в т.ч. в устной форме нельзя. Фактическое допущение работодателем работника к работе без оформления письменного договора не означает, что договор может быть заключен в устной форме, т.к. фактическое допущение к работе не освобождает работодателя от обязанности заключить с работником трудовой договор в письменной форме в течение 3 дней со дня фактического допущения (абз. 2 ст. 67 ТК).