Можно ли включать в трудовой договор со специалистом, основания для увольнения, не предусмотренные законодательством?

Нет, такие основания для увольнения, противоречащие ТК РФ, прямо включать в трудовой договор нельзя (ведь вам придётся их указывать в ТР/КН работника, а там суд не будет разбираться, договаривались вы о таком увольнении или нет - незаконно и всё тут). Другое дело, что те основания, которые вы хотите подвести для увольнения, можно указать в ТД, как нарушения его условий. А нарушение условий ТД есть ничто иное, как неисполнение или ненадлежащее исполнение работником возложенных на него трудовых обязанностей. К вашим услугам - ст. 192 ТК РФ.