Обязан ли сотрудник при увольнение обучать сотрудника, который пришёл на его место?

Естественно, не должна. и препятствовать увольнению начальница права не имеет. подпись начальницы на заявлении никакого значения не имеет, вы не разрешения спрашиваете, а просто уведомляете о том, что через 2 недели прекращаете трудовые отношения. по истечении срока предупреждения вы просто больше не выходите на эту работу, а если в день указанный в вашем заявлении с вами не произведут полный расчет и не выдадут трудовую книжку, то на следующий день вы идете писать заявление в прокуратуру.
вы никому ничего не должны, крепостное право отменили достаточно давно. начальнице надо, пусть она и учит.