По трудовому соглашению. Работник принят на работу по трудовому соглашению.Делается ли запись в трудовую книгу?

Обязательно вносится. Не путайте его с гражданско-правовым договором. Это обычный трудовой договор исковерканный неграмотными кадровиками/юристами на который распространяется действие ТК РФ. Статья 56 ТК РФ Понятие трудового договора. Стороны трудового договора Трудовой договор - соглашение между работодателем и работником, в соответствии с которым работодатель обязуется предоставить работнику работу по обусловленной трудовой функции, обеспечить условия труда, предусмотренные трудовым законодательством и иными нормативными правовыми актами, содержащими нормы трудового права, коллективным договором, соглашениями, локальными нормативными актами и данным соглашением, своевременно и в полном размере выплачивать работнику заработную плату, а работник обязуется лично выполнять определенную этим соглашением трудовую функцию, соблюдать правила внутреннего трудового распорядка, действующие у данного работодателя. Гражданско-правовой договор – это соглашение между физическим лицом (физическими лицами) и другим физическим лицом (физическими лицами) либо с юридическим лицом (юридическими лицами), определяющее порядок возникновения, изменения, прекращения обязательств между ними.