Может ли быть такое, что в труд.договоре расписывается работник первый,а работодатель- позже,например,на день?

Может. Колхоз... извините, договор - дело добровольное. Может, руководитель организации-работодателя по той или иной причине не захочет подписывать договор с Вами. Ну, или что-то в договоре его не устроит, режим работы, например. Так что это мелочь, главное, чтобы он в принципе был подписан. Другой вопрос, что пока Вы не увидите договор, подписанный с обеих сторон, к работе приступать не следует. Удачи!