Имеют ли право не подписать моё заявление об увольнении?

Ст. 80 трудового кодекса рф - работник имеет право расторгнуть трудовой договор, предупредив об этом работодателя в письменной форме не позднее чем за две недели, если иной срок не установлен настоящим кодексом или иным федеральным законом. течение указанного срока начинается на следующий день после получения работодателем заявления работника об увольнении.
по соглашению между работником и работодателем трудовой договор может быть расторгнут и до истечения срока предупреждения об увольнении.

т. е. если ничего не предпринимать особого, например написать заявление и уйти на больничный, то 2 недели надо работать.

и вам правильно ответили о необходимости регистрации заявления.