Подскажите, пожалуйста, может ли сотрудник уволиться во время долгосрочного отпуска за свой счет?

Предупредить работодателя о предстоящем увольнении можно, в том числе находясь в отпуске без сохранения заработной платы. Это можно сделать, лично подав заявление об увольнении с указанием даты предстоящего увольнения либо отправив его по почте заказным письмом, поскольку ТК РФ не запрещен и такой способ предупреждения работодателя (ст. 80 ТК РФ).