Имеют ли право уволить одинокую мать с ребенком 3 лет по сокращению штата? как быть, если другие вакансии не устраивают?

Да, вы правильно понимаете - сократить вас не имеют права (если в графе "отец" стоит прочерк).
вам обязаны предоставить другую работу согласно вашей квалификации, с тем же размером заработной платы. если подходящей вакантной должности нет и не представляется возможности ее ввести, тогда предложить другую работу, но с оплатой не ниже среднего заработка по прежней должности (ст. 155 тк рф). если данная должность по какой-либо причине вас не устроит (местоположение, график работы, трудовые обязанности, и пр. условия, отличные от прописанных в вашем текущем трудовом договоре), то можете от нее отказаться. если вообще никаких вариантов работодатель предложить не сможет, то тогда ему придется оплачивать простой (ст. 157 тк рф).