Кто по закону обязан оформлять трудовые договоры? и в каком источнике это указано?

Закона на это счет нет и быть не может. В ТК РФ только сказано, что сторонами ТД являются работник и работодатель (ст. 56 ТК РФ). Поэтому процесс непосредственного оформления ТД можно (и нужно) установить локальным нормативным актом. Исполнителем ТД может быть и отдел кадров (что чаще всего встречается на практике), и юридический отдел (юрисконсульт). и просто секретарь-делопроизводитель, иногда - бухгалтер и т.д. В любом случае юридическую силу ТД приобретает только после подписания его сторонами (часть первая ст. 61 ТК РФ) - вне зависимости, кто его сочинил, набрал и отпечатал.