Как поступать работнику, если он собрался увольняться, а директор в отпуске на 2 недели,

Это не ваша проблема - отсутствие руководителя. приказом на период его отсутствия должен быть назначен исполняющий обязанности, который и подпишет ваше заявление. если в организации бардак и этого не сделано, то регистрируйте свой экземпляр заявления (напишите их 2) в канцелярии или отделе кадров. со следующего дня пойдет отсчет 14 календарных дней. в последний день, в конце рабочего дня придете за трудовой и расчетом. посылать никого никуда не нужно и, плюнув, не выходить на работу тоже, т. к. рискуете получить запись об увольнении за прогул. ранее 14 к/дней вам никто не выдаст трудовую книжку. срочно выйти на другую работу получится лишь с нарушением трудового законодательства, а в этом случае нужно быть готовой к неприятностям.