Должен ли частный работодатель заключать со мной трудовой договор?

Вся беда в том, что у вас не заключён трудовой договор в письменном виде (ст. 67 ТК РФ) И частные предприниматели являются такими же работодателями, как и государственные учреждения или акционерные общества, на них, как на работодателей, полностью распространяется действие Трудового кодекса (часть третья ст.11 ТК РФ). Правда, есть и особенности, например для работников, работающих у физ.лиц, не являющихся индивидуальными предпринимателями, но в отношении трудового договора это дела не меняет. А у вас был именно индивидуальный предприниматель, т.е. юридическое лицо. И он даже обязан был вести на вас трудовую книжку (ст.66 ТК РФ). Но если нет письменного ТД, тогда все разговоры - это пустой звук, ТК РФ не предусматривает поступление на работу "по устной договоренности", а хозяин может высказать все, что ему заблагорассудится. Но отпуск у любого работника не может быть менее 28 календарных дней (ст.115 ТК РФ), однако все свои права можно реализовать только при наличии письменного ТД.