Если нет трудового договора, обязан ли работник отрабатывать 2 недели при увольнении?

Если не был оформлен трудовой договор, а в трудовой книжке есть запись о приеме на работу, это не значит, что Вы "работали зайцем". Вы фактически были допущены к работе. В случае отсутствия записи в трудовой или вообще не заводилась трудовая книжка, то тогда Вас в штате организации не было и предупреждать или отрабатывать работодателя не надо.