Обязательна ли подпись моего прямого руководителя , на заявление об увольнении? заявления пишутся на имя директора

Само слово "заявление" говорит о том, что вы заявляете об увольнении. Заметьте, не просите, а заявляете. ТК говорит то же самое: работник предупреждает работодателя об увольнении в установленный законом срок (3 дня, 2 недели или иной - зависит от конкретики). Таким образом, подпись руководителя на заявлении не имеет ровно никакого значения. Если, конечно, речь идет об увольнении ПСЖ. В случае, если вы увольняетесь по соглашению сторон, обязательны две подписи. Но, с другой стороны, тогда и составляется, как правило, не заявление, а соглашение.