Хотела взять оплачиваемые отгулы , но начальство не подписывает заявление, законно ли это? Что делать?

Если у вас есть отгулы (дни отдыха за ранее отработанное время), то можете их использовать, когда хотите, ваше дело только письменно сообщить об этом начальству, ст.153 ТК РФ, согласие начальства здесь не нужно