Может ли работодатель составить такой договор, чтобы работник работал без отпуска и больничного?

Да, может. Только это будет не трудовой договор, а договор гражданско-правового характера (ГПХ). По нему действительно работнику не положен оплачиваемый отпуск и больничный, деньги выплачиваются только за выполненный объем работ. Ежемесячно работник составляет акт о выполненных работах, работодатель подписывает и выплачивает деньги. Если болел, то работы не выполнил, соответственно денег не будет. Слава богу, что закон ограничивает случаи, в которых можно заключать такой договор. Иначе бы мы все работали без больничных и отпусков :)