Заключается ли гражданско-правовой договор с инспектором отдела кадров

Смотря что за договор. Например договор займа, почему нет. Если же вас интересует может ли инспектор ОК осуществлять свою профессиональную деятельность не по трудовому договору, т.е. быть внештатной единицей, то закон не говорит прямо, что такое невозможно, за исключением государственной и муниципальной службы. Правда в случае заключения ГПД с инспектором ОК, последний не может фигурировать в договоре как инспектор ОК, он будет обозначен как гражданин и будут указаны его обязанности и права, которые принадлежали бы инспектору ОК принятому в штат.