Мужа попросили написать заявление по собственному желанию

Будут. в соответствии с п. 2 ст. 5 федерального закона 255-фз даже если больничный лист получен в течение 30 дней со дня увольнения, то он подлежит оплате и обращаться за назначением пособия надо к работодателю по последнему месту работы.. а в вашем случае, как я понимаю, больничный получен в день увольнения, день увольнения - это рабочий день, так что вообще никаких вопросов не должно возникать у работодателя, он обязан принять и оплатить этот больничный лист.