Имеет ли право начальник не подписывать свой счёт ?

Если вы допущены к вступительным испытаниям, то в соответствии со ст. 173 тк рф работодатель обязан предоставить вам 15 к. д. отпуска без содержания. предоставьте подтверждение того, что поступать едете, тогда не будет оснований для отказа.
а иначе отпуск может быть предоставлен на усмотрение работодателя, ст. 128 тк рф работодателю дано право отказать в таком отпуске в случае, если он считает причину не достаточно уважительной