Обязательна ли печать?

1) постановление минтруда рф от 10 октября 2003 г. n 69 "об утверждении инструкции по заполнению трудовых книжек"
2.2. после указания даты заполнения трудовой книжки работник своей подписью на первой странице (титульном листе) трудовой книжки заверяет правильность внесенных сведений.
первую страницу (титульный лист) трудовой книжки подписывает также лицо, ответственное за выдачу трудовых книжек, после чего ставится печать организации (печать кадровой службы) (при наличии печати), в которой впервые заполнялась трудовая книжка.

2.3. изменения записей в трудовых книжках о фамилии, имени, отчестве и дате рождения производятся на основании паспорта, свидетельств о рождении, о браке, о расторжении брака, об изменении фамилии, имени, отчества и других документов и со ссылкой на их номер и дату.
указанные изменения вносятся на первую страницу (титульный лист) трудовой книжки. одной чертой зачеркивается прежняя фамилия или имя, отчество, дата рождения и записываются новые данные. ссылки на соответствующие документы делаются на внутренней стороне обложки трудовой книжки и заверяются подписью работодателя или специально уполномоченного им лица и печатью организации (или печатью кадровой службы) (при наличии печати).

2) постановление правительства рф от 16 апреля 2003 г. n 225 "о трудовых книжках"
35. при увольнении работника (прекращении трудового договора) все записи, внесенные в его трудовую книжку за время работы у данного работодателя, заверяются подписью работодателя или лица, ответственного за ведение трудовых книжек, печатью работодателя и подписью самого работника (за исключением случаев, указанных в пункте 36 настоящих правил).

3) приказ министерства труда и социальной защиты рф от 31 октября 2016 г. n 589н "об утверждении разъяснения по некоторым вопросам применения правил ведения и хранения трудовых книжек, изготовления бланков трудовой книжки и обеспечения ими работодателей, утвержденных постановлением правительства российской федерации от 16 апреля 2003 г. n 225 "о трудовых книжках"

вывод: ваш руководитель прав. кадровая служба вправе, но не обязана иметь печать с оттиском "отдел кадров", либо ставить печать организации ("негербовая"), а если "гербовая" (печать с воспроизведением герба российской федерации - так правильно называется по гост), то наличие и использование такой печати необходимо закрепить в уставе организации. можно ставить ту печать, которая у вас сейчас есть!