Является ли официальным трудоустройство по договору и вносится запись в трудовую?

Вообще-то, понятие официального трудоустройства обычно связывают с оформлением на работу по трудовому договору или служебному контракту, оформлением приказа о приеме на работу (назначении на должность) и внесением записи об этом в трудовую книжку...В указанном случае работник числится в штате организации, за него производятся все предусмотренные законодательством РФ отчисления, на него распространяются правила внутреннего трудового распорядка и прочие гарантии и компенсации, установленные Трудовым кодексом РФ. Исходя из текста вопроса, с Вами пытаются оформить гражданско-правовой договор. Возможно, оформление выполнения определенного вида работ не трудовым договором, а например, договором подряда. Это тоже официальный вариант, но при этом в договоре четко оговаривается фронт работ, оговаривается размер оплаты (чаще всего фиксированная сумма, возможно, авансирование), работник по договору не состоит в штате организации, льготами и компенсациями, предусмотренными ТК РФ не пользуется, отчисления, предусмотренные законодательством осуществляются за него организацией только в том объеме, который прописан в договоре (т. е. подоходный налог с суммы Вы, судя по всему, должны будете сами перечислять)