Могу ли я взять на работе неоплачиваемый отпуск, отработав менее полугода?

Вы можете попросить отпуск без сохранения зарплаты, работодатель, если сочтет вашу причину достаточно уважительной, то отпуск этот вам предоставит. решит, что причина не уважительна - откажет, имеет на это полное право. в ст. 128 тк рф четко сказано, кому и при каких обстоятельствах работодатель обязан отпуск за свой счет предоставить, то, что в этот перечень не входит - на усмотрение работодателя.
еще вы можете попробовать купить больничный, потому как официально "заболеть" и при этом две недели не посещать врача вряд ли получится. так, что если договорится с работодателем или найти больничный лист не получится, значит придется выбирать либо увольняться, либо отказаться от поездки.