Может ли работодатель требовать выплату недостачи, если с момента ухода с работы прошло 10 дней?

Работодатель имеет право обратиться в суд по спорам о возмещении работником ущерба, причиненного работодателю, в течение одного года со дня обнаружения причиненного ущерба. В случае пропуска этого срока по уважительной причине он может быть восстановлен судом (ст. 392 ТК РФ). В вашем случае, если работодатель обратится в суд, то исковое требование о возмещении ущерба останется без удовлетворения. Так как с вами не заключен Трудовой договор, а также отсутствует письменный договор о полной материальной ответственности.