Объясните пожалуйста,что это за трудовой договор без внесения записи в трудовую книжку?

Это очередная попытка обмануть работника. При заключении именно трудового договора обязательно делается запись в трудовую. Если не вносят запись, значит дело нечисто, скорее всего гражданско-правовой договор подпишете, по нему работодатель не отчисляет за Вас ничего ни в какие фонды, не платит налоги. Хотите, чтобы была пенсия, оплачивался больничный - платите сами, никаких гарантий, предусмотренных ТК, такой договор работнику не дает.