Могу, ли я, и каким образом во время рабочего дня пойти к врачу...?

Вам надо обратиться к работодателю с заявлением о предоставлении отпуска без сохранения заработной платы на один день. В соответствии со ст. 128 ТК РФ по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы, продолжительность которого определяется по соглашению между работником и работодателем.