Может ли новый работодатель узнать о том, что я уволилась на следующий день, если я ему принесу новую трудовую книжку?

Зачем заводить новую трудовую, что-бы потом был геморрой восстанавливать данные из старой. а работодателю не обязательно врать. можно ответить нейтрально по поводу работы один день. главное, на собеседовании показать, что вы человек надежный, не сбежите при малейших проблемах и что вы человек не конфликтный. т. е. гнать на предыдущего работодателя нельзя.
например, если спросят за один день, можно ответить, что вы сами расстроены такой историей, но там какая-то своя ситуация на фирме и вакансия, на которую вас брали, оказалась загружена не достаточно, для обеспечения полного рабочего дня сотруднику.