Должен ли я отработать 2 недели и писать заявление об уходе с этой работы, если:...

Вы - слишком глупый! извините за прямоту.
вы сначала определитесь трудовые отношения установлены или нет. если установлены, то заявление о расторжении трудового договора вы обязаны подать за две недели до увольнения. если трудовые отношения не установлены, то вы можете такое заявление и не писать. но в таком случае, что вы заводите речь о деньгах? вы же не исполняли трудовые обязанности.
альтернатива. это закон. трудовой договор заключается в письменной форме, если трудовой договор не был заключен в письменной форме, а работник с согласия работдателя приступил к выполнению трудовых обязанностей, трудовой договор считается заключенным. при таких обстоятельствах, работник вправе обратиться в суд с иском о возложении обязанности заключить трудовой договор в письменной форме и взыскании задолженности по оплате труда, в доказательство приложить документ и цзн, которым будет подтверждено, что по этой вакансии работдатель обещал заработную плату в размере 20671руб.