Что на уме у работодателя, который не дает мне мой экземпляр трудового договора? Это, чтобы я свои права не предъявляла?

В любом случае это нарушение Трудового кодекса РФ. Но вероятно отдел кадров не справляется со своей работой (если большая текучка кадров). И еще вариант, если работодатель частник и хочет кинуть ...(на случай если ты пойдешь в суд). У моего сына была такая ситуация, отработал на стройке (у частника) три месяца. Трудовой договор отдали при увольнении и без печати ( таким документом можно только печку растопить)