Подскажите пожалуйста юристы!

В принципе, если есть письменные документы, подтверждающие факт вашей работы, свидетели, которые могут показать что вы там работали именно этот период, на такой-то должности, что у этой должности такая-то заработная плата, то можете уходить ничего не заключая. А потом, через суд устанавливать факт ваших трудовых отношений и взыскивать заработную плату. Для этого желательно все таки направить письмо заказным с уведомлением вашему работодателю с предложением все таки "типа" заключить трудовой договор с такого-то числа (конкретное число начала вашей фактической работы). Копию письма оставить у себя. Потом, если откажут вместе с копией, заявлением и полученным обратно уведомлением - в суд. Как уже указано, можете просить заключить с вами трудовой договор "задним числом".