Может ли работник отказаться выполнять обязанности другого работника на период его больничного?

В должностной инструкции такой момент взаимозаменяемости должен быть предусмотрен. Если у Вас предусмотрен, то Вы обязаны выполнять его обязанности, если нет - то по соглашению работника и работодателя, которое оформляется в письменном виде в виде доп соглашения. Но в любом случае применяется ст. 151 ТК РФ. При совмещении профессий (должностей), расширении зон обслуживания, увеличении объема работы или исполнении обязанностей временно отсутствующего работника без освобождения от работы, определенной трудовым договором, работнику производится доплата. Размер доплаты устанавливается по соглашению сторон трудового договора с учетом содержания и (или) объема дополнительной работы (статья 60.2 настоящего Кодекса).