Нужна помощь

Можете. Во первых, за единственное нарушение не могут уволить (только за 3, в крайнем случае 2),во-вторых для того, чтобы вынести вам дисциплинарное взыскание, вам нужно было появится в пьяном виде на рабочей смене, а не на больничном, если иное не предусмотрено правилами внутреннего трудового распорядка. Так как до 17 у вас был больничный, до уволить вас могли только тогда, когда вы появились бы на работе, 18 января, например. В суде можете требовать 1) восстановления на рабочее место,2) выплаты компенсации за вынужденный прогул. Да, больничный вам обязаны оплатить! Если что-то неясно, пишите в личку.