Нужно ли писать заявление если работник отработал не полый рабочий день.

Обязательно должен быть документ подтверждающий отсутствие на рабочем месте в течение рабочего дня. Если работнику был установлен неполный рабочий день по договоренности с работодателем, то от работника должно быть заявление, которое служит основанием к приказу в произвольной форме. Если работник самовольно оставил рабочее место, то составляется соответствующий акт+объяснительная записка, которые служат основанием к приказу о дисциплинарном взыскании: замечание, выговор, увольнение, на усмотрение работодателя.