Обязан ли работодатель оплатить больничный госслужащего с племянником 7-летним?

Запретов нет, больничный не оплатят (если вы не опекун), но его наличие может послужить оправдательным документов отсутствия на работе.
применяя к работнику дисциплинарное взыскание, работодатель должен учесть тяжесть проступка и обстоятельства, при которых он совершен (ч. 5 ст. 192 тк рф). "уважительность" отсутствия остается на усмотрение работодателя, уволить он может (при соблюдении процедуры), но если вы не согласны, можете отстаивать свои права в суде. при рассмотрении спора о правомерности применения увольнения суд не только проверяет факт совершения дисциплинарного проступка, но и оценивает обстоятельства дела, предшествующее проступку поведение работника, его отношение к труду и др. (определение конституционного суда рф от 20.02.2014 n 252-о). увольнение может быть признано незаконным, т. к нахождение в больнице с племянником может быть признано уважительной причиной отсутствия на работе.
p\s чтобы избежать подобных спорных ситуаций, следовало бы заранее оформить отпуск без сохранения з/п. согласно ст. 128 тк рф по семейным обстоятельствам и другим уважительным причинам работнику по его письменному заявлению может быть предоставлен отпуск без сохранения заработной платы.