В какие сроки затребовать письменное объяснение от работника по поводу его опоздания?

Акт вы должны составить по факту обнаружения проступка. это потом вы получите от работника объяснение "уважительности" его отсутствия и подтверждающие документы.
т. к работодатель может применить дисциплинарное взыскание в течение месяца со дня обнаружения проступка (не считая времени болезни работника, пребывания его в отпуске, а также времени, необходимого на учет мнения представительного органа работников (ч. 3 ст. 193 тк рф), то приказ об истребовании письменного объяснения вы можете издать в любое время в течении этого срока.
выйдет работник из больничного. истребуйте от него объяснительную с просьбой приложить оправдательные документы.
сочтете их уважительными, никто не обязывает применять дисциплинарное взыскание, но с точки зрения организации соблюдения дисциплины все это хорошо сработает.