Имеет ли право работодатель требовать больничный (справку), если он не оплачивается, и этот пункт не указан в договоре?

Как это может быть неофициальной работа при заключенном договоре?
что за договор заключен с вами? если вы называете его работодателем, то данный договор может быть только трудовым, поэтому про оплату листка временной нетрудоспособности в нем может ничего не говориться, поскольку эта оплата осуществляется безоговорочно согласно ст. 183 тк рф.
если же с вами заключен договор гпх, где вы выступаете в роли исполнителя, а организация - в роли заказчика, то больничный действительно не оплачивается, но и вы оказываете заказчику услуги без привязки к общему внутреннему трудовому распорядку. что и должно быть отражено в договоре. оказали услугу - получили за это вознаграждение.