Могут ли возникнуть проблемы с трудоустройством при наличии не продленного приписного (военного удостоверения)

На трудоустройство это влиять не должно. Но работодатель в целях ведения воинского учета призывников и военнообязанных, в любом случае должен направить вас в военкомат со справкой, свидетельствующей о вашем трудоустройстве, а оттуда вы должны принести работодателю корешок этой справки со штампом (печатью) военкомата, что сведения приняты. Вот это для работодателя главное. А с военными билетами и приписными удостоверениями уже разбирайтесь в военкомате - дальнейшие военкоматовские дела работодателю неинтересны.