Какой договор нужно заключить организациям, если сотрудник одной фирмы числится в ней, но работает в другой фирме?

Нет обязанности. Можете на доверии, а можете оформить совместительство. Или прописать в трудовом договоре этот момент, указав, что рабочее место работника находится там-то и там-то. Это возможно. Лишь бы он согласился. Ведь речь идет, как я понял,всего лишь о месте исполнения обязанностей, которое отличается от основного. Но если это разные организации (разные юридические лица), то с каждой из этих организаций должен быть оформлен с работником отдельный договор. Какой именно - по ситуации и по правилам ТК РФ (срочный или бессрочный).