Можно ли так сделать?

Лучше Вам самой лично отдать заявление об увольнении во время больничного (2 недели идет со следующего дня после подачи заявления). В любом случае предупредить на работе о том, что у Вас больничный. В общем уйдите "красиво", не нужно лишних телодвижений. Это пойдет Вам во вред. Да, доверенности должны быть нотариальные, если Вам это нужно, то можете через подругу.Можете сделать и так, но вот если у вас на работе упрутся, то потребуют нотариально заверенную доверенность на получение денег и документов, а все остальные документы, в том числе и заявление на увольнение можно послать по почте с уведомлением, срок принятия заявления будет начинаться со дня получения письма