Должна ли я платить деньги за период отпуска арендуя кресло в парикмахерской и там работая?

Ваши отношения в этом случае - не трудовые, а гражданско-правовые (договор аренды, ст. 606 ГК РФ). И все, исключительно все условия о том, что вы можете, а что нет, должны быть прописаны в этом договоре. А вариантов может быть множество (обязательность или необязательность оплаты, сдача в субаренду и т.д, и т.п.)