Мне не выплатили зарплату за сделанную работу

Отсутствие письменного трудового договора не является отсутствием такого договора как такового. Договор есть, но устный. Его сила от этого не меняется. То, что письменного договора нет, - это вина работодателя. Собирайте доказательства своей работы, свидетелей и в трудовую инспекцию. Там все расставят по своим местам. Можно обратиться и в суд. Сроки: 1 месяц по спорам об увольнении; 3 месяца - по остальным трудовым спорам. Сам факт того, что Вы приступили к работе с ведома должностных лиц работодателя, является моментом заключения трудового договора с работодателем.