Скажите, пожалуйста, поступая на работу, могу ли я вместо трудового договора с работодателем подписать

Смотря, какой работодатель, не все хотят закон нарушать. смысл-то такой подмены в чем? вам не нужны социальные гарантии предусмотренные тк рф? не нужен отпуск, не нужен больничный, не нужна зарплата дважды в месяц?
ндфл вы в любом случае будете платить, страховые взносы в пфр и ффомс заказчик тоже обязан за подрядчика - физ. лицо платить.
не будет только страховых взносов в фсс, т. е. в случае болезни или производственной травмы ничего не получите, вот и вся ваша "выгода" от договора гпх