Могут ли не предоставить очередной отпуск, мотивируя тем что я пишу заявление за 5 дней, утверждают что я должен...

Работодатель не прав. Следует иметь в виду, что согласно ст.123 Трудового кодекса РФ очередность предоставления ежегодных отпусков определяется ежегодно в соответствии с графиком отпусков, утверждаемым работодателем не позднее чем за две недели до наступления календарного года. График отпусков обязателен как для работодателя, так и для работника. При этом на основании ч.3 ст.123 ТК РФ работник должен быть извещен о времени начала отпуска не позднее чем за 2 недели до его начала. Приказ (распоряжение) о предоставлении отпуска работникам издаются на основании графика отпусков. Приказ является основанием для расчета заработной платы, причитающейся за отпуск. В случае предоставления работнику отпуска, который не соответствует графику отпусков, работник должен написать заявление с просьбой о предоставлении отпуска.